Die algebraische Struktur der Gruppe. Eine Einführung anhand des Rubik's Cube

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Die algebraische Struktur der Gruppe. Eine Einführung anhand des Rubik's Cube

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Facharbeit (Schule) aus dem Jahr 2008 im Fachbereich Mathematik - Algebra, Note: 1,0, , Sprache: Deutsch, Abstract: Schon relativ jung wird der Mensch mit der Mathematik konfrontiert. Wer kennt nicht das kleine Kind von Nebenan, das auf sein zartes Alter von 5 Jahren stolz ist und es mit seiner rechten Hand und natürlich seinen fünf Fingern abzählt. Den Erstklässer, der auf Anhieb die Summe aus 2 + 2 ausrechnet und klar und deutlich das Ergebnis 4 auswen- dig herausgrölt. Den interessierten Gymnasialschüler, der sich über die richtigen Lösungen in der Matheklausur - und natürlich über die damit erreichte Leistung - ganz "cool" freut.
Doch spätestens im Mathestudium werden sie alle feststellen müssen, dass nicht das Ergebnis die besondere Leistung der Mathematik genauer der Algebra ist, sondern der Vorgang des Rechnens um die jeweilige Lösung zu erhalten.
In der Mathematik bezeichnet man den Teilbereich der Algebra als Gruppentheorie, der sich mit der Verallgemeinerung der Rechengesetze auf algebraische Objekte genannt Gruppen beschäftigt. So bildet für den Mathematikstudenten die Addition auf den kleinen Händen des Nachbarsjungen eine Gruppe G und die Summe aus 2 + 2 kann für ihn auch mal 0 ergeben, nämlich dann wenn die Addition modulo(4) gerechnet wird.
Die Entwicklung der Gruppentheorie fand ihren Ursprung bei dem Mathematiker Camille Jordan, der den Begriff der Gruppe durch eine unzureichende Definition erst im Jahre 1868 eingeführt hatte. Durch die Erkenntnisse der Mathematiker Artur Cayley und William Rowan Hamilton konnte man eine erste mathematische Definition der Gruppe erstellen, welche schon zu Beginn dieser Facharbeit vorgestellt wird.
An diese Definition knüpft eine Unterscheidung von additiven und multiplikativen Gruppen an, wonach die allgemeinen Charakteristika von Gruppen noch erläutert werden. Nachdem der Aufbau von Gruppen und die möglichen Abbildungen von diesen erklärt wurden, werden die erworbenen Kenntnisse der Gruppentheorie auf den Mini Cube aus der rubikschen Zauberwürfelreihe angewandt, um die übergeordnete Rolle und die Bedeutung der Gruppentheorie zu präsentieren.