Kategorientheorie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 55. Kapitel: Homomorphismus, Isomorphismus, Algebraische Topologie, Garbe, Faserprodukt, Konkrete Kategorie, Topos, Universelle Eigenschaft, Yoneda-Lemma, Abgeleiteter Funktor, Limes, Treuer Funktor, Monade, Magma, Modellkategorie, Exakte Sequenz, Epimorphismus, Monomorphismus, Automorphismus, Grothendieck-Universum, Darstellbarkeit, Abelsche Kategorie, Kern, Kommakategorie, Initialtopologie, Kommutatives Diagramm, Ext, Monoidale Kategorie, Stack, Grothendieck-Topologie, Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt, Endomorphismus, Basiswechsel, Einbettungssatz von Mitchell, Kartesisch abgeschlossene Kategorie, Finaltopologie, Adjunktion, Identische Abbildung, Skelett, Kan-Erweiterung, Projektive Auflösung, Retraktion, Injektive Auflösung, Kolimes, Projektives Objekt, Differenzkern, Koprodukt, Gruppoid, Wesentlich surjektiver Funktor, Wesentliche Erweiterung, Exakter Funktor, Injektives Objekt. Auszug: Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelt wurde; Saunders MacLane nennt seine 1945 in Zusammenarbeit mit Samuel Eilenberg entstandene ¿General Theory of Natural Equivalences¿ (in Trans. Amer. Math. Soc., 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die ersten beiden eingeführt. Die Kategorientheorie lässt sich, ähnlich wie die universelle Algebra, als allgemeine Theorie mathematischer Strukturen auffassen (klassische Strukturen sind z.B. Gruppen, Ringe, Moduln und topologische Räume). Dabei werden Eigenschaften mathematischer Strukturen allerdings nicht über Relationen zwischen Elementen der Trägermenge(n) definiert, sondern mittels Morphismen und Funktoren quasi über Vergleiche sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien. Diese Art der Abstraktion führt nicht nur zu einer Klärung grundlegender, theorieübergreifender Begriffe, sie ermöglicht es auch, erfolgreiche Methoden und Konzepte einer speziellen mathematischen Theorie auf andere Bereiche und Objektklassen zu übertragen.Ein illustratives Beispiel liefert die Geschichte der homologischen Algebra, deren Methoden zuerst auf abelsche Gruppen beschränkt waren, dann auf Moduln über Ringen verallgemeinert wurden und schließlich, als Theorie der abelschen Kategorien, auf abelsche Garben übertragen wurden. Die Kategorientheorie ist ebenso für Grundlagenfragen relevant. So bilden Topoi, kategorientheoretische Extrakte der Kategorie der Mengen, in der wichtige Eigenschaften von Mengen rein pfeiltheoretisch (d.h. über Morphismen) formuliert werden, eine Alternative zum axiomatischen mengentheoretischen Aufbau der Mathematik. Darüber hinaus spielt die Kategorientheorie in der Logik, der Theoretischen Informatik (Semantik von Programmiersprachen, Domaintheorie, G