System versus Gegenstandsbezug oder kann die Mengenlehre auf Dauer der Anschauung ausweichen?

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System versus Gegenstandsbezug oder kann die Mengenlehre auf Dauer der Anschauung ausweichen?

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O knihe

Studienarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Philosophie - Theoretische (Erkenntnis, Wissenschaft, Logik, Sprache), Note: 1,0, Universit¿Rostock, Sprache: Deutsch, Abstract: Der ber¿hmte Unvollst¿igkeitssatz von G¿del, demzufolge in hinreichend starken formalen Systemen notwendig Aussagen existieren, die weder beweisbar noch unbeweisbar sind, spielt f¿r die moderne Mathematik kaum eine Rolle. Man m¿chte meinen, jener Satz h¿e das Potential, einen Grundlagenstreit permanent brennen zu lassen, einen Grundlagenstreit, der die Formalisierung und Axiomatisierung der Mathematik wiederum angreift, etwa im Namen eines verlorengegangenen Gegenstandsbezuges.

Nun, gerade die Anwendungen sind kaum an einem Grundlagenstreit interessiert, solange die Mathematik als Hilfswissenschaft effektiv bleibt und das tut sie offensichtlich: Flugzeuge und Raketen fliegen, Tunnel und Br¿cken st¿rzen relativ selten ein, wen k¿mmert da noch die Frage, ob das Unendliche existiert? Ohne Zweifel ist die Mathematik effektiv darin, ¿im anschaulichen Kontinuum verborgene Eigenschaften des Kontinuierlichen [...] zu erfassen.¿ Das Unendliche aber ist schon ein integraler Begriff im Raum der reellen Zahlen. In diesem Sinne d¿rfte die Rede von der Mathematik als einer axiomatischen Wissenschaft heute schlicht Gemeinplatz sein; die konventionelle oder fast schon traditionelle Definition der Zahl ist dann eben genau das, was die Axiome in sich logisch vorgeben. Ein Intervall zwischen zwei nat¿rlichen Zahlen beispielsweise umfasst so gem¿dem Vollst¿igkeitsaxiom unendlich viele reelle Zahlen usw. Schon eher in Vergessenheit d¿rfte dabei geraten, dass die Zahl in der Mathematik erst um die Wende zum 20. Jahrhundert die Gr¿¿ abgel¿st hat; und dies bezeichnenderweise zum in etwa gleichen Zeitpunkt, an dem der Siegeszug der Mengenlehre, an sich also einer Theorie des Unendlichen, begann. Die Mengenlehre aber wurde in der ersten H¿te des 20. Jahrhunderts zu einem umfassenden Aussagerahmen f¿r die gesamte Mathematik ¿berhaupt.