Synthetische Geometrie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 86. Kapitel: Euklidische Geometrie, Kongruenzsatz, Geordnete Geometrie, Parallelenaxiom, Konstruktion, Winkelsumme, Strahlensatz, Ternärkörper, Euklidischer Körper, Seiteneinteilung, Affine Translationsebene, Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie, Kongruenzabbildung, Affinität, Präeuklidische Ebene, Projektive Geometrie, Konstruierbare Polygone, Parallelprojektion, Quasikörper, Affine Ebene, Projektive Ebene, Spiegelung, Kollineation, Quadratklasse, Klassifikation projektiver Ebenen, Blockplan, Winkelhalbierende, Pythagoreischer Körper, Nichteuklidische Geometrie, Satz von Desargues, Hyperbolische Geometrie, Fano-Axiom, Isometrie, Inzidenzgeometrie, Fano-Ebene, Höhenschnittpunkt, Affine Geometrie, Schließungssatz von Poncelet, Moufangebene, Alternativkörper, Parallelverschiebung, Möbius-Ebene, Axiomatisierung, Axiom von Veblen-Young, Moulton-Ebene, Satz von Pappos, Fernelement, Linearer Raum, Halbebene, Axiom von Pasch, Schiefkörper, Elliptische Geometrie, Grundgebilde, Absolute Geometrie, Endliche Geometrie, Schrägspiegelung, Satz von Bose, Dilatation, Geradenbündel, Grundelemente, Punktfeld, Geradenfeld, Punktreihe. Auszug: Ein Ternärkörper ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich einer beliebigen affinen Ebene dient. Als Menge besteht der Ternärkörper dabei aus den Punkten einer fest gewählten Geraden der Ebene, nämlich der ersten Koordinatenachse des Koordinatensystems, das man auf dieser Ebene einführt. Auf dieser Punktmenge wird durch die Ternärkonstruktion eine dreistellige Verknüpfung definiert, mit der die Gerade die algebraische Struktur eines Ternärkörpers erhält. Umgekehrt gibt es zu jeder Struktur , die die Axiome eines Ternärkörpers erfüllt, eine affine Ebene, deren Punkte die Paare sind und deren Geraden sich als Lösungsmengen von Gleichungen in mit Hilfe der Ternärverknüpfung darstellen lassen. Etwas salopp formuliert: Jede affine Ebene ¿ist¿ eine zweidimensionale Ebene über einem Ternärkörper und zu jeder affinen Ebene gibt es bis auf Isomorphie genau einen Ternärkörper als Koordinatenmenge. Die Mächtigkeit des Ternärkörpers entspricht der Ordnung der zugehörigen affinen Ebene. Ist die affine Ebene eine affine Translationsebene, dann kann ihr Koordinatenternärkörper zu einem Quasikörper gemacht werden, für desarguesche Ebenen ist dies sogar ein Schiefkörper, für pappussche Ebenen ein Körper. Ein Ternärkörper, in dem die Ternärverknüpfung durch eine Addition und eine Multiplikation dargestellt werden kann, wird als linear bezeichnet. Erfüllt in einem linearen Ternärkörper die Addition das Assoziativgesetz, dann wird er als kartesische Gruppe bezeichnet. Quasikörper sind stets kartesische Gruppen. Ein Quasikörper, in dem beide Distributivgesetze gelten, wird in der Geometrie als Halbkörper bezeichnet. Alternativkörper sind stets solche Halbkörper, Schiefkörper sind stets Alternativkörper. Die hier beschriebenen Koordinatenbereiche, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenkörper bezeichnet werden, auch wenn sie nicht Körper im algebraischen Sinn sind, können auch zur Einführung von projektiven Koordinaten auf einer